Smith Kaart Oefening 5

Opgave

Gebruik je Smith kaart om een antenne van 110 Ohm aan te passen aan een coax van 50 Ohm voor een frequentie van 600 MHz (\(\lambda\)= 25 cm)? Welke verschillende oplossingen zijn er mogelijk?

Oplossing

Er zijn hiervoor 8 oplossingen mogelijk.

Overzicht

We bespreken hieronder elk van deze 8 oplossing:

Oplossing 1: Bijplaatsen van een capaciteit in serie

Het imaginair deel van de impedantie van een condensator is negatief. We kunnen een bijgeplaatste condensator dus gebruiken om een positief imaginair deel te compenseren.

We plaatsen \(\frac{Z_L}{Z_0}=2.2\) op de Smith kaart (rode dot) en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de Smith kaart (groene dot).

Fig. 191 Smith kaart van de eerste oplossing.

Als we van de aanpassing (groene dot) naar de belasting gaan (rode dot), draaien we in tegenwijzerzin over een afstand van \(292^o\). Dit geeft een afstand van \(\frac{292}{360}\frac{\lambda}{2}\)=0.406 \(\lambda\) = 10.1cm. (\(\lambda\)= 25 cm is gegeven)

De nieuwe z = 1 + j 0.81. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm + j 40.5 Ohm (zie Tabel 1). Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een condensator met impedantie van ongeveer - j 57.5 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van zlijn juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.

\[ \frac{1}{j \omega C}= - j 40.5 \Omega\]

Als we vervolgens \(\omega\) invullen, wetende dat de freqentie f=600 MHz:

\[ \omega= 2 \pi 600 10^6 Hz \]

\[ C= 6.54 pF \]

hoek    impedantie (Ohm)     lengte coax (cm)
 290  Z= 48.60+39.86j Ohm     lengte=10.07 cm
 291  Z= 49.28+40.16j Ohm     lengte=10.10 cm
 292  Z= 49.98+40.45j Ohm     lengte=10.14 cm
 293  Z= 50.70+40.73j Ohm     lengte=10.17 cm

Overzicht van de bekomen impedantie als functie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De optimale condensatorwaarde in serie wordt dus 6.54 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 10.1 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze eerst oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 192 circuit van de eerste oplossing.

Oplossing 2: Bijplaatsen van een inductantie in serie

We plaatsen \(\frac{Z_L}{Z_0}=2.2\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het onderste deel van de kaart.

Fig. 193 Smith kaart van de tweede oplossing.

We zoomen vervolgens in op het deel van de cirkel die de eenheidscirkel snijdt.

hoek    impedantie (Ohm)     lengte coax (cm)
  65  Z= 52.17-41.26j Ohm     lengte=2.26 cm
  66  Z= 51.42-41.00j Ohm     lengte=2.29 cm
  67  Z= 50.70-40.73j Ohm     lengte=2.33 cm
  68  Z= 49.98-40.45j Ohm     lengte=2.36 cm
  69  Z= 49.28-40.16j Ohm     lengte=2.40 cm

Overzicht van de bekomen impedantie als functie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De nieuwe z = 1 - j 0.81. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm - j 40.5 Ohm. Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een spoel met impedantie van ongeveer j 40.5 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van zlijn juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.

\[ j \omega L= j 40.5 \Omega\]

\[ \omega= 2 \pi \cdot 600\times 10^6 \]

\[ L=10.7 nH \]

Het schema dat we nodig hebben om deze tweede oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 194 circuit van de tweede oplossing.

De optimale inductantiewaarde in serie wordt dus 15 nH en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 2.1 cm

Oplossing 3: Bijplaatsen van een capaciteit in parallel

We plaatsen \(\frac{Z_L}{Z_0}=2.2\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.

Fig. 195 Smith kaart van de derde oplossing.

Omdat een Smith kaart in admitantie het spiegelbeeld is van een Smith kaart in impedentie, kunnen we ook de kaart spiegelen. We moeten dan wel aan de andere kant van de kaart vertrekken. Dit is weergegeven in figuur 6.

Fig. 196 Smith kaart van de derde oplossing als admitantie

hoek    admittantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 245    Y= 20.87-16.51j mS     lengte=8.51 cm
 246    Y= 20.57-16.40j mS     lengte=8.54 cm
 247    Y= 20.28-16.29j mS     lengte=8.58 cm
 248    Y= 19.99-16.18j mS     lengte=8.61 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De optimale condensatorwaarde in parallel wordt dus 4.3 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 8.61 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze derde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 197 circuit van de derde oplossing.

Oplossing 4: Bijplaatsen van een spoel in parallel

We plaatsen \(\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{1}{2.2}\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.

Fig. 198 Smith kaart van de vierde oplossing.

hoek    admittantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 110    Y= 19.44+15.94j mS     lengte=3.82 cm
 111    Y= 19.71+16.06j mS     lengte=3.85 cm
 112    Y= 19.99+16.18j mS     lengte=3.89 cm
 113    Y= 20.28+16.29j mS     lengte=3.92 cm
 114    Y= 20.57+16.40j mS     lengte=3.96 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De optimale inductantiewaarde in parallel wordt dus 16.4 nH de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 3.89 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze vierde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 199 circuit van de vierde oplossing.

Oplossing 5: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een open transmissielijn

De y = 1 - j 0.85 compenseren we door +j 0.85 vertrekkende vanuit g=0.

Fig. 200 Smith kaart van de vijfde oplossing.

hoek    admittantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 245    Y= 20.87-16.51j mS     lengte=8.51 cm
 246    Y= 20.57-16.40j mS     lengte=8.54 cm
 247    Y= 20.28-16.29j mS     lengte=8.58 cm
 248    Y= 19.99-16.18j mS     lengte=8.61 cm
 249    Y= 19.71-16.06j mS     lengte=8.65 cm

Overzicht van de bekomen admittantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admittantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  75       Y= +15.35j mS     lengte=2.60 cm
  76       Y= +15.63j mS     lengte=2.64 cm
  77       Y= +15.91j mS     lengte=2.67 cm
  78       Y= +16.20j mS     lengte=2.71 cm
  79       Y= +16.49j mS     lengte=2.74 cm

Overzicht van de bekomen admitantie van de open transmissielijn als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Hieruit blijkt dat een open transmissielijn met de lengte van \(\frac{78}{360} \frac{\lambda}{2}\) de beste aanpassing geeft.

Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 2.7 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze vijfde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 201 circuit van de vijfde oplossing.

Oplossing 6: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een kortgesloten transmissielijn

De y = 1 - j 0.85 compenseren we door +j 0.85 vertrekkende vanuit g=\(\infty\).

Fig. 202 Smith kaart van de zesde oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 245    Y= 20.87-16.51j mS     lengte=8.51 cm
 246    Y= 20.57-16.40j mS     lengte=8.54 cm
 247    Y= 20.28-16.29j mS     lengte=8.58 cm
 248    Y= 19.99-16.18j mS     lengte=8.61 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 255       Y= +15.35j mS     lengte=8.85 cm
 256       Y= +15.63j mS     lengte=8.89 cm
 257       Y= +15.91j mS     lengte=8.92 cm
 258       Y= +16.20j mS     lengte=8.96 cm
 259       Y= +16.49j mS     lengte=8.99 cm

Overzicht van de bekomen admittantie van de kortgesloten transmissielijn als functie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 8.96 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze zesde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 203 circuit van de zesde oplossing.

Oplossing 7: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een open transmissielijn

De y = 1 + j 0.85 compenseren we door -j 0.85 vertrekkende vanuit g=0.

Fig. 204 Smith kaart van de zevende oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 110    Y= 19.44+15.94j mS     lengte=3.82 cm
 111    Y= 19.71+16.06j mS     lengte=3.85 cm
 112    Y= 19.99+16.18j mS     lengte=3.89 cm
 113    Y= 20.28+16.29j mS     lengte=3.92 cm
 114    Y= 20.57+16.40j mS     lengte=3.96 cm

Overzicht van de bekomen admittantie als functie van de hoek op de Smith kaart voor de eerste coax. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 280       Y= -16.78j mS     lengte=9.72 cm
 281       Y= -16.49j mS     lengte=9.76 cm
 282       Y= -16.20j mS     lengte=9.79 cm
 283       Y= -15.91j mS     lengte=9.83 cm
 284       Y= -15.63j mS     lengte=9.86 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als functie van de hoek op de Smith kaart voor de tweede coax. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het schema dat we nodig hebben om deze zevende oplossing te realiseren wordt dus:

Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 9.8 cm

Fig. 205 circuit van de zevende oplossing.

Oplossing 8: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een kortgesloten transmissielijn

De y = 1 + j 0.85 compenseren we door -j 0.85 vertrekkende vanuit g=\(\infty\).

Fig. 206 Smith kaart van de achtste oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 110    Y= 19.44+15.94j mS     lengte=3.82 cm
 111    Y= 19.71+16.06j mS     lengte=3.85 cm
 112    Y= 19.99+16.18j mS     lengte=3.89 cm
 113    Y= 20.28+16.29j mS     lengte=3.92 cm
 114    Y= 20.57+16.40j mS     lengte=3.96 cm

Overzicht van de bekomen admitanttie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 100       Y= -16.78j mS     lengte=3.47 cm
 101       Y= -16.49j mS     lengte=3.51 cm
 102       Y= -16.20j mS     lengte=3.54 cm
 103       Y= -15.91j mS     lengte=3.58 cm
 104       Y= -15.63j mS     lengte=3.61 cm

Overzicht van de bekomen admittantie als functie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 3.5 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze achtste oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 207 circuit van de achtste oplossing.