Transmissie lijnen#

_images/f16525943cb86c07796dd46db73675661ca14adb761c4be5972316bfc8202e2e.svg

Fig. 125 Netwerk model van een 50 Ohm transmissielijn.#

Transmissie lijn model#

_images/591ca9c9bfe751cba761b0524091b6e003a795d4620510ae0a7d0a34aabe4386.svg

Fig. 126 Kleinsignaal model van een kort stuk#

\[ Z_o=\sqrt{\frac{j \omega L+R}{j \omega C+g}}\]

waarbij L de inductantie per eenheid lengte is, C de capaciteit er eenheid lengte is, R de weerstand van de geleider en g de lekgeleidbaarheid van het dielectricum.

In het beste geval is de weerstand van de geleider nul (R=0) en de lek ook nul (g=0). \(Z_o\) wordt dan

\[ Z_o \approx \sqrt{\frac{L}{C}}\]

Coax kabel#

Fig. 127 toont de doorsnede van een coax kabel met daarop de belangrijkste parameters voor het bepalen van de C per eenheid lengte en de L per eenheid lengte.

_images/868a64246c9457e86e729cc2db43cbdba6654867efb350eada87c79390270a2d.png

Fig. 127 Schematische cross-section van een coax kabel met de aanduiding van de belangrijkste parameters#

Voor een typische coax-kabel met binnendiameter 1.2 mm en buiten diameter 2.8 mm bekomen we de volgende parameters:

R = 0.09886 ohms/m
L = 169.46 nH/m
G = 7.416 S/m
C = 65.63 pF/m
Zo= 50.81 Ohm

Het verloop van de karakteristieke impedantie ziet er voor deze coax kabel uit als aangegeven in Fig. 128

_images/2bdf808f37dd30a48ece352e16410b8bd19a19bfcd0de8d43d7d985b0098a7fe.png

Fig. 128 Verloop van de karakteristieke impedantie van een RG-58 coax als functie van de frequentie.#

Uit Fig. 128 merken we dat bij lage frequenties deze karakteristieke impedantie in belangrijke mate verschilt van 50 Ohm. De negatieve fase geeft aan dat bij lage frequenties de lijn zich capacitief gedraagt.

Twisted pair kabel#

Fig. 129 toont de doorsnede van een twisted pair kabel met daarop de belangrijkste parameters voor het bepalen van de C per eenheid lengte en de L per eenheid lengte.

_images/43511f425ecd971cfa05566a7ec3ab4677befef44a6c936f2971ac1a69a7381b.png

Fig. 129 Schematische cross-section van een twisted pair kabel met de aanduiding van de belangrijkste parameters#

striplijn#

Microstriplijn#

De relevante parameters hier zijn de breedte van het baantje (\(w\)) en de dikte van het dielectricum (\(h\)). Natuurlijk speelt de relatieve permitiviteit van het dielectricum (\(\epsilon_r\)) ook mee.

Een voorbeeld:

We willen een 50 Ohm transmissielijn bekomen voor een 2.4 GHz signaal op een PCB waarvan de relatieve permitiviteit van het dielectricum \(\epsilon_r\)=4.6. De dikte van het dielectricum is 1/16 inch

Breedte van het baantje w = 2.931e+00 mm, Rel. perm: e_eff = 3.460
Breedte van het baantje  w = 1.154e+02 mils (vaak voorkomende PCB eenheid)
-----------------------------------------------------
Weerstand per eenheid lengte: R' = 0 ohms/m
Inductantie per eenheid lengte: L' = 3.100e+02 nH/m
lek geleidbaarheid per eenheid lengte: G' = 0 S/n
Capaciteit per eenheid lengte: C' = 1.240e+02 pF/m
-----------------------------------------------------
Golflengte in de vrije ruimte: lambda = 1.250e+01 cm
Golflengte in het medium (guide): lambda_g = 6.720e+00 cm
Quart golflengte bij 2.4 GHz  = 1.680 cm
Breedte van het baantje w = 1.884e+00 mm, Rel. perm: e_eff = 3.338
Breedte van het baantje  w = 7.418e+01 mils (vaak voorkomende PCB eenheid)
-----------------------------------------------------
Weerstand per eenheid lengte: R' = 0 ohms/m
Inductantie per eenheid lengte: L' = 3.898e+02 nH/m
lek geleidbaarheid per eenheid lengte: G' = 0 S/n
Capaciteit per eenheid lengte: C' = 9.516e+01 pF/m
-----------------------------------------------------
Golflengte in de vrije ruimte: lambda = 6.000e+01 cm
Golflengte in het medium (guide): lambda_g = 3.284e+01 cm

Microstrip Analyse Plots#

We vergelijken 3 types: Micro-fiber PTFE, FR4, en Ceramisch-gevulde PTFE voor een aantal waardes van \(w/h\).

_images/4c594811fe670b3220007a408653fc9b93aef362cc1a63bc0179936ebd564d78.png

Fig. 130 Verloop van de karakteristieke impedantie van een microstriplijn als functie van de dimensies.#

_images/46d3958865614dded63549d0272211032242cdd89d70a4923cc0cc08794aa51f.png

Fig. 131 Verloop van de dielectrische constante van een microstriplijn als functie van de dimmensies.#

Microstrip Design Plots#

Voor het design doen we eigenlijk het omgekeerde van de analyse: we vertrekken van een gevraagde \(Z_o\) en we rekenen uit wat de \(w\) en \(h\) moeten zijn om dit te bekomen. We vergelijken 3 types: Micro-fiber PTFE, FR4, en Ceramisch-gevulde PTFE voor een aantal waardes van \(w/h\).

_images/e49151754e85cc447f3d08ea23eec1aa856cb590dda8a83bfaaa816ea61508a7.png

Fig. 132 dimmensies om de vereiste karakteristieke impedantie van een microstriplijn te bekomen.#

_images/6b86d534abc0b0b4ed4b0c016228b71615dd1a9192a7bc245543e3df745e36b4.png

Fig. 133 De relatie tussen effectieve dielectrische constante en karakteristieke impedantie.#

Andere transmissie lijnconfiguraties#

_images/dcc3bcf6fe1bfe43f353258bc4eb12c0fef46ea542b2f1ab9b495197d6d7b424.gif

Twee geleiders in een onbeperkt medium#

Fig. 134 toont de doorsnede van 2 gelijke geleiders met diameter \(d\) op een afstand \(D\) van elkaar verwijderd. De karakteristieke impedantie \(Z_0\) van deze topologie is:

\[Z_0= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\cosh^{-1}\left(\frac{D}{d}\right) \approx \frac{119.92}{\sqrt{\epsilon}} \ln\left(\frac{2D}{d}\right) \approx \frac{276}{\sqrt{\epsilon}} \log_{10}\left(\frac{2D}{d}\right)\]

Voor de geldigheid van deze formule is het essentieel dat beide geleiders een gelijke en tegengestelde stroom geleiden.

_images/de6efe102cacb69907b70dca706fc483110917499e9565c83a210e9a075b7c0b.gif

Fig. 134 Twee geleiders in een onbeperkt medium#

Het is ook mogelijk dat beide geleiders niet dezelfde diameter hebben. In Fig. 135 wordt de doorsnede geschetst voor de diameters \(d_1\) en \(d_2\).

De karakteristieke impedantie \(Z_0\) van deze topologie is:

\[Z_0= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\cosh^{-1}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{4 D^2}{d_1 d_2} -\frac{d_1}{d_2}-\frac{d_2}{d_1}\right)\right) \]
_images/af0dd10cbace76744b756e1000a8835bcb61d451491364e1b596551fd3be2223.gif

Fig. 135 Doorsnede van een transmissielijn met 2 geleiders van ongelijke diameters.#

_images/e553548ed6f045a5dcd3803359305c442db4400cffe96d3ad3c90a7f943eb100.gif
_images/3583a2c005c569176a493941092130e25116f0a600798dcc33a49e820bada576.gif
_images/a06f104f6c4f70bdd5df61a32a96a6aeffea23c1782290a93483894daef8c22e.gif
_images/b92462d68ea88295b12d5e6713359f1912ff517370cf645876c45eb2e99607a4.gif
_images/4bfe5a7a8604739e5550102e1a048dfeee1078c2c36f6c7369970cbb3b19449d.gif
_images/d13103c7a258e8d97b05eed64043174d55ee0e8194c5b4e77feab16737063939.gif
_images/a757a3313c2db512701b86c5d79b262b8695b5e57dee5df7616ed4c5998d6c12.gif

Een geleider boven een grondvlak#

Fig. 136 toont de configuratie van een geleider boven een grondvlak. Hierbij is het vanzelfspreekend dat de terugstroom door het grondvlak loopt. Daarom wordt de waarde van de karakteristieke impedantie \(Z_0\) bekomen tussen deze geleider en het grondvlak.

\[Z_0= \frac{138}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{4h}{d}\right) \]
_images/f8b61a733097d05550e85ba92f1db37df66c1d135f722b0ca78344ec975e4440.gif

Fig. 136 configuratie van een geleider boven een grondvlak#

Twee geleiders boven een grondvlak#

Hierbij is het belangrijk dat we het verschil beschouwen tussen de differentiele karakteristieke impedantie (zie Fig. 137) en de common mode karakteristieke impedantie (zie Fig. 138).

Wanneer d << D en d << h worden de vergelijkingen:

\[Z_{0_{diff}}= \frac{276}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{2D}{d}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{D}{2h}\right)^2}}\right) \]
\[Z_{0_{common}}= \frac{69}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{4h}{d}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{2h}{D}\right)^2}}\right) \]

We zien ook dat als \(D\) zeer groot wordt, de waarde van \(Z_{0_{common}}\) de helft wordt van de waarde van een enkelvoudige geleider boven een grondvlak, met andere woorden: voor grote D kunnen we beide geleiders in parallel beschouwen.

_images/728b3a664531b5b4dbe7dbf565bcecce3cd40984579302332883fbd1965db42b.gif

Fig. 137 differentiele karakteristieke impedantie boven een grondvlak#

_images/c4e0e98f9702e9b9164e2b9fc1b9c893e869e7a587e2cae55c30ea60a5872de5.gif

Fig. 138 common mode karakteristieke impedantie boven een grondvlak#

_images/e6b046c441918c5c493542539994c98f9ae7c3014dd102053e5fffa9fec12a71.gif
_images/480d77f70eaa936daf9d8c58b7a94ed997e0bbca018ca00da07ec0cea5c50ec1.gif
_images/fc1d307c0d964e043d82a9c70190f10560be3d3c3ec5c40181350bd8ba630485.gif