Transmissie lijnen

Figuur 139 Netwerk model van een 50 Ohm transmissielijn.

Transmissie lijn model

Figuur 140 Kleinsignaal model van een kort stuk

\[ v(z,t)- v(z+ \Delta z) =L \Delta z \frac {\delta i}{\delta t} + R \Delta z i \]

\[ i(z,t)- i(z+ \Delta z) =C \Delta z \frac {\delta v}{\delta t} + g \Delta z v \]

\[ \frac{v(z,t)- v(z+ \Delta z)}{\Delta z} =L \frac {\delta i}{\delta t} + R i \]

\[ \frac{i(z,t)- i(z+ \Delta z)}{\Delta z} =C \frac {\delta v}{\delta t} + g v \]

\[ \frac{\delta v}{\delta z} =L \frac {\delta i}{\delta t} + R i \]

\[ \frac{\delta i}{\delta z} =C \frac {\delta v}{\delta t} + g v \]

\[ \frac{\delta v}{\delta z} = (j \omega L + R ) i \]

\[ \frac{\delta i}{\delta z} = (j \omega C + g ) v \]

\[ \frac{\delta v}{\delta i} = \frac{(j \omega L + R ) i}{(j \omega C + g ) v }\]

\[ \frac{v \delta v}{i\delta i} = \frac{j \omega L + R }{j \omega C + g }\]

\[ Z_o^2 = \frac{j \omega L + R }{j \omega C + g }\]

\[ Z_o=\sqrt{\frac{j \omega L+R}{j \omega C+g}}\]

waarbij L de inductantie per eenheid lengte is, C de capaciteit er eenheid lengte is, R de weerstand van de geleider en g de lekgeleidbaarheid van het diëlectricum.

In het beste geval is de weerstand van de geleider nul (R=0) en de lek ook nul (g=0). \(Z_o\) wordt dan

\[ Z_o \approx \sqrt{\frac{L}{C}}\]

Coax kabel

Figuur 141 toont de doorsnede van een coax kabel met daarop de belangrijkste parameters voor het bepalen van de C per eenheid lengte en de L per eenheid lengte.

Figuur 141 Schematische cross-section van een coax kabel met de aanduiding van de belangrijkste parameters

Voor een typische coax-kabel met binnendiameter 1.2 mm en buiten diameter 2.8 mm bekomen we de volgende parameters:

R = 0.09886 ohms/m
L = 169.46 nH/m
G = 7.416 S/m
C = 65.63 pF/m
Zo= 50.81 Ohm

Het verloop van de karakteristieke impedantie ziet er voor deze coax kabel uit als aangegeven in Figuur 142

Figuur 142 Verloop van de karakteristieke impedantie van een RG-58 coax als functie van de frequentie.

Uit Figuur 142 merken we dat bij lage frequenties deze karakteristieke impedantie in belangrijke mate verschilt van 50 Ohm. De negatieve fase geeft aan dat bij lage frequenties de lijn zich capacitief gedraagt.

Twisted pair kabel

Figuur 143 toont de doorsnede van een twisted pair kabel met daarop de belangrijkste parameters voor het bepalen van de C per eenheid lengte en de L per eenheid lengte.

Figuur 143 Schematische cross-section van een twisted pair kabel met de aanduiding van de belangrijkste parameters

striplijn

Microstriplijn

De relevante parameters hier zijn de breedte van het baantje (\(w\)) en de dikte van het diëlectricum (\(h\)). Natuurlijk speelt de relatieve Permittiviteit van het diëlectricum (\(\epsilon_r\)) ook mee.

Een voorbeeld:

We willen een 50 Ohm transmissielijn bekomen voor een 2.4 GHz signaal op een PCB waarvan de relatieve Permittiviteit van het diëlectricum \(\epsilon_r\)=4.6. De dikte van het diëlectricum is 1/16 inch

Breedte van het baantje w = 2.931e+00 mm, Rel. perm: e_eff = 3.460
Breedte van het baantje  w = 1.154e+02 mils (vaak voorkomende PCB eenheid)
-----------------------------------------------------
Weerstand per eenheid lengte: R' = 0 ohms/m
Inductantie per eenheid lengte: L' = 3.100e+02 nH/m
lek geleidbaarheid per eenheid lengte: G' = 0 S/n
Capaciteit per eenheid lengte: C' = 1.240e+02 pF/m
-----------------------------------------------------
Golflengte in de vrije ruimte: lambda = 1.250e+01 cm
Golflengte in het medium (guide): lambda_g = 6.720e+00 cm

Quart golflengte bij 2.4 GHz  = 1.680 cm

Breedte van het baantje w = 1.884e+00 mm, Rel. perm: e_eff = 3.338
Breedte van het baantje  w = 7.418e+01 mils (vaak voorkomende PCB eenheid)
-----------------------------------------------------
Weerstand per eenheid lengte: R' = 0 ohms/m
Inductantie per eenheid lengte: L' = 3.898e+02 nH/m
lek geleidbaarheid per eenheid lengte: G' = 0 S/n
Capaciteit per eenheid lengte: C' = 9.516e+01 pF/m
-----------------------------------------------------
Golflengte in de vrije ruimte: lambda = 6.000e+01 cm
Golflengte in het medium (guide): lambda_g = 3.284e+01 cm

Microstrip Analyse Plots

We vergelijken 3 types: Micro-fiber PTFE, FR4, en Ceramisch-gevulde PTFE voor een aantal waardes van \(w/h\).

Figuur 144 Verloop van de karakteristieke impedantie van een microstriplijn als functie van de dimensies.

Figuur 145 Verloop van de dielectrische constante van een microstriplijn als functie van de dimmensies.

Microstrip Design Plots

Voor het design doen we eigenlijk het omgekeerde van de analyse: we vertrekken van een gevraagde \(Z_o\) en we rekenen uit wat de \(w\) en \(h\) moeten zijn om dit te bekomen. We vergelijken 3 types: Micro-fiber PTFE, FR4, en Ceramisch-gevulde PTFE voor een aantal waardes van \(w/h\).

Figuur 146 dimmensies om de vereiste karakteristieke impedantie van een microstriplijn te bekomen.

Figuur 147 De relatie tussen effectieve dielectrische constante en karakteristieke impedantie.

Andere transmissie lijnconfiguraties

Twee geleiders in een onbeperkt medium

Figuur 148 toont de doorsnede van 2 gelijke geleiders met diameter \(d\) op een afstand \(D\) van elkaar verwijderd. De karakteristieke impedantie \(Z_0\) van deze topologie is:

\[Z_0= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\cosh^{-1}\left(\frac{D}{d}\right) \approx \frac{119.92}{\sqrt{\epsilon}} \ln\left(\frac{2D}{d}\right) \approx \frac{276}{\sqrt{\epsilon}} \log_{10}\left(\frac{2D}{d}\right)\]

Voor de geldigheid van deze formule is het essentieel dat beide geleiders een gelijke en tegengestelde stroom geleiden.

Figuur 148 Twee geleiders in een onbeperkt medium

Het is ook mogelijk dat beide geleiders niet dezelfde diameter hebben. In Figuur 149 wordt de doorsnede geschetst voor de diameters \(d_1\) en \(d_2\).

De karakteristieke impedantie \(Z_0\) van deze topologie is:

\[Z_0= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\cosh^{-1}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{4 D^2}{d_1 d_2} -\frac{d_1}{d_2}-\frac{d_2}{d_1}\right)\right) \]

Figuur 149 Doorsnede van een transmissielijn met 2 geleiders van ongelijke diameters.

Een geleider boven een grondvlak

Figuur 150 toont de configuratie van een geleider boven een grondvlak. Hierbij is het vanzelfsprekend dat de terugstroom door het grondvlak loopt. Daarom wordt de waarde van de karakteristieke impedantie \(Z_0\) bekomen tussen deze geleider en het grondvlak.

\[Z_0= \frac{138}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{4h}{d}\right) \]

Figuur 150 configuratie van een geleider boven een grondvlak

Twee geleiders boven een grondvlak

Hierbij is het belangrijk dat we het verschil beschouwen tussen de differentiële karakteristieke impedantie (zie Figuur 151) en de common mode karakteristieke impedantie (zie Figuur 152).

Wanneer d << D en d << h worden de vergelijkingen:

\[Z_{0_{diff}}= \frac{276}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{2D}{d}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{D}{2h}\right)^2}}\right) \]

\[Z_{0_{common}}= \frac{69}{\sqrt{ε}} \log_{10}\left(\frac{4h}{d}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{2h}{D}\right)^2}}\right) \]

We zien ook dat als \(D\) zeer groot wordt, de waarde van \(Z_{0_{common}}\) de helft wordt van de waarde van een enkelvoudige geleider boven een grondvlak, met andere woorden: voor grote D kunnen we beide geleiders in parallel beschouwen.

Figuur 151 differentiele karakteristieke impedantie boven een grondvlak

Figuur 152 common mode karakteristieke impedantie boven een grondvlak