Smith Kaart Oefening 7

Opgave Oefening

Een baantje op een PCB heeft een karakteristieke impedantie van 64 Ohm. Gebruik je Smith kaart om een belasting bestaande uit een resistief deel van 32 Ohm en een capacitief deel van 5 pF in parallel, aan te passen aan dit baantje voor een frequentie van 500 MHz (\(\lambda_{PCB}\)= 328 mm) door het gebruik van een open stukje transmissielijn van de juiste lengte aangebracht op de juiste positie. Bereken deze lengte en positie.

Wanneer het baantje aangepast is op 500 MHz, zullen we op 550 MHz wel reflectie hebben. Bereken hoegroot de reflectie is (ter hoogte van het stukje open transmissielijn) ten gevolge van een signaal van 550 MHz.

Oplossing

Aanpassing van de transmissielijn op 500 MHz

We werken de oplossing uit op basis van [8]. De antenne die de belasting is van dit circuit modelleren we als in Fig. 212.

Fig. 212 circuit van de aangepaste antenne.

Dit geeft een admittantie van:

\[Y_L = \frac{1}{R}+ j \omega C\]

\[Y_L = \frac{1}{32}+ j \hspace{2mm} 2 \pi \cdot 500 \hspace{3mm} 10^6 \cdot 5\hspace{3mm} 10^{-12} \]

\[Y_L Z_o= 2+ j \hspace{2mm} 1\]

We plaatsen de waarde van \(Y_L Z_o\) op de Smith kaart van de admittantie en we draaien tot we de cirkel waarbij het reële deel van admittantie 1 is tegenkomen. Dit ziet er uit als in Fig. 213.

Fig. 213 Smith kaart van de admitantie.

We kijken nu welke hoek we moeten draaien om deze cirkel te snijden. Aangezien de opgave was om dit zo kort mogelijk bij de belasting te doen, kiezen we voor het eerste snijpunt. Op de kaart lezen we af dat dit na 90 graden is. We hebben dus een stukje van 41.0 mm nodig. In de tabel hieronder zien we dit in meer detail uitgewerkt. Hiervoor kijken we na wanneer de admittantie 1/(64 Ohm) bereikt. Dit is bij 15.625 mS.

hoek    admittantie (Siemens)     lengte baantje op PCB (cm)
  88    Y= 16.19-15.94j mS            lengte=4.01 cm
  89    Y= 15.90-15.80j mS            lengte=4.05 cm
  90    Y= 15.62-15.67j mS            lengte=4.10 cm
  91    Y= 15.36-15.53j mS            lengte=4.15 cm

Het imaginair gedeelte van de y waarde die we op de kaart aflezen is y=-1 j. We moeten dit dus compenseren door een imaginair deel van y=+1 j van de open transmissielijn. We starten dus de cirkelboog bij y=0 (zie oranje lijn in Fig. 214) en kijken waar deze de waarde van y=+1 j snijdt op de Smith kaart. De lengte van de boog die we hiervoor nodig hebben is 90 graden. Dit komt ook overeen met een lengte van 41.0 mm.

Fig. 214 Smith kaart van de admittantie met ook de aangave van de open transmissielijn.

We kunnen dit ook in tabelvorm uitwerken. Ook hier zoeken we een waarde van 15.625j mS Dit zie je dan hieronder weergegeven.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  85       Y= +14.32j mS     lengte=3.87 cm
  86       Y= +14.57j mS     lengte=3.92 cm
  87       Y= +14.83j mS     lengte=3.96 cm
  88       Y= +15.09j mS     lengte=4.01 cm
  89       Y= +15.35j mS     lengte=4.05 cm
  90       Y= +15.63j mS     lengte=4.10 cm
  91       Y= +15.90j mS     lengte=4.15 cm
  92       Y= +16.18j mS     lengte=4.19 cm
  93       Y= +16.47j mS     lengte=4.24 cm
  94       Y= +16.76j mS     lengte=4.28 cm

Fig. 215 toont het schema dat we nodig hebben om deze oplossing te realiseren

Fig. 215 circuit van de aangepaste antenne.

Reflectie op 550 MHz

Om de reflectie van het signaal van 550 MHz te berekenen ter hoogte van het stukje open transmissielijn, berekenen we eerst de admittantie (\(Y_L\)) van de belasting:

\[Y_L = \frac{1}{R}+ j \omega C\]

\[Y_L = \frac{1}{32}+ j \hspace{2mm} 2 \pi \cdot (550 \hspace{2mm} 10^6) \cdot (5\hspace{2mm} 10^{-12}) \]

\[Y_L Z_o= 2+ j \hspace{2mm} 1.1\]

\(Y_L Z_o\) is dan de vertrekwaarde op de Smith kaart.

Vervolgens moeten we weten hoegroot de golflengte is voor een 550 MHz signaal. Vertrekkende van de gegeven golflengte \(\lambda_{PCB}\) voor het 500 MHz signaal kunnen we de golflengte van het 550 MHz signaal afleiden:

\[\lambda_{PCB,550} = \frac {500}{550} \lambda_{PCB,500}\]

We bekomen dus een golflengte van 298 mm. De 2 baantjes van 41 mm zijn dus 13.75 % van de golflengte en we moeten zowel vanuit het punt van de antenne als het punt van de open transmissielijn een hoek van 99 graden draaien op de Smith kaart.

Fig. 216 Smith kaart van de admittantie met ook de aangave van de open transmissielijn. De groene dots geven een aangepaste belasting (500 MHz) en de rose dots de belasting aan 550 MHz

De Smithkaart in Fig. 216 toont het verschil tussen de admittanties bekomen bekomen aan 500 MHz (groene dots) en de admittanties bekomen bekomen aan 550 MHz (roze dots). Wanneer we de op de Smithkaart afgelezen waardes van de 2 groene dots optellen bekomen we 1, wat overeenkomt met een belasting van 64 Ohm en een aangepaste transmissielijn. Wanneer we de op de smithkaart afgelezen waardes van de 2 roze dots optellen bekomen we 0.85 +0.2 j, wat overeenkomt met een belasting van 70.9-17.5 j Ohm.

De reflectiecoeficient die we dan bekomen op 550 MHz is:

\[ \rho= \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}= 0.07-0.12 j\]