Smith Kaart Oefening 3

Opgave

Wat is een Smith kaart? Welke waarde wordt er op deze kaart uitgezet?

Notitie

Hiervoor verwijzen we naar het betreffende hoofdstuk uit de cursus.

Hoe gebruik je een Smith kaart om een antenne van 30 Ohm aan te passen aan een printbaan van 60 Ohm voor een frequentie van 1.2 GHz (\(\lambda\)= 12.5 cm)?

Oplossing 1: Bijplaatsen van een capaciteit in serie

We plaatsen \(z= \frac{Z_L}{Z_0}=\frac{1}{2}\) op de Smith kaart (rode dotje) en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de Smith kaart (groene dotje).

Fig. 157 Smith kaart van de eerste oplossing.

Als we van de aanpassing (groene dot) naar de belasting gaan (rode dot), draaien we in tegenwijzerzin over een afstand van \(110^o\). Dit geeft een afstand van \(\frac{110}{360}\frac{\lambda}{2}\)=0.152 \(\lambda\) = 1.9cm. (\(\lambda\)= 12.5 cm is gegeven)

De nieuwe z = 1 + j 0.7. Daaruit volgt dat Z = 60 Ohm + j 42.4 Ohm (zie Table 1). Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een condensator met impedantie van ongeveer - j 42.4 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van de lijnimpedantie (zie Table 1) juist gaan kijken waar het reele deel 60 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.

\[ \frac{1}{j \omega C}= - j 42.4 \Omega\]

Als we vervolgens \(\omega\) invullen, wetende dat de freqentie f=1.2GHz:

\[ \omega= 2 \pi \cdot 1.2\times 10^9 \]

\[ C= 3.1 pF \]

hoek    impedantie (Ohm)     lengte coax (cm)
 105  Z= 56.82+41.17j Ohm     lengte=1.82 cm
 106  Z= 57.51+41.46j Ohm     lengte=1.84 cm
 107  Z= 58.21+41.75j Ohm     lengte=1.86 cm
 108  Z= 58.93+42.03j Ohm     lengte=1.88 cm
 109  Z= 59.65+42.30j Ohm     lengte=1.89 cm
 110  Z= 60.39+42.56j Ohm     lengte=1.91 cm
 111  Z= 61.15+42.82j Ohm     lengte=1.93 cm
 112  Z= 61.92+43.06j Ohm     lengte=1.94 cm
 113  Z= 62.70+43.29j Ohm     lengte=1.96 cm
 114  Z= 63.50+43.50j Ohm     lengte=1.98 cm

Overzicht van de bekomen impedantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De optimale condensatorwaarde in serie wordt dus 3.1 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 1.9 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze eerst oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 158 circuit van de eerste oplossing.

Oplossing 2: Bijplaatsen van een inductantie in serie

We plaatsen \(\frac{Z_L}{Z_0}=0.5\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het onderste deel van de kaart.

Fig. 159 Smith kaart van de tweede oplossing.

We zoomen vervolgens in op het deel van de cirkel die de eenheidscirkel snijdt.

hoek    impedantie (Ohm)     lengte coax (cm)
 245  Z= 64.31-43.71j Ohm     lengte=4.25 cm
 246  Z= 63.50-43.50j Ohm     lengte=4.27 cm
 247  Z= 62.70-43.29j Ohm     lengte=4.29 cm
 248  Z= 61.92-43.06j Ohm     lengte=4.31 cm
 249  Z= 61.15-42.82j Ohm     lengte=4.32 cm
 250  Z= 60.39-42.56j Ohm     lengte=4.34 cm
 251  Z= 59.65-42.30j Ohm     lengte=4.36 cm
 252  Z= 58.93-42.03j Ohm     lengte=4.38 cm
 253  Z= 58.21-41.75j Ohm     lengte=4.39 cm
 254  Z= 57.51-41.46j Ohm     lengte=4.41 cm

Overzicht van de bekomen impedantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

De nieuwe z = 1 - j 0.7. Daaruit volgt dat Z = 60 Ohm - j 42.4 Ohm. Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een spoel met impedantie van ongeveer j 42.4 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van zlijn juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.

\[ j \omega L= j 42.4 \Omega\]

\[ \omega= 2 \pi \cdot 1.2 \times 10^9 \]

\[ L=5.6 nH \]

Het schema dat we nodig hebben om deze tweede oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 160 circuit van de tweede oplossing.

De optimale inductantiewaarde in serie wordt dus 5.6 nH en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 4.35 cm

Oplossing 3: Bijplaatsen van een capaciteit in parallel

We plaatsen \(\frac{Z_L}{Z_0}=0.5\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.

Fig. 161 Smith kaart van de derde oplossing.

Omdat een Smith kaart in admitantie het spiegelbeeld is van een Smith kaart in impedentie, kunnen we ook de kaart spiegelen. We moeten dan wel aan de andere kant van de kaart vertrekken. Dit is weergegeven in figuur 6.

Fig. 162 Smith kaart van de derde oplossing als admitantie.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  65    Y= 17.86-12.14j mS     lengte=1.13 cm
  66    Y= 17.64-12.08j mS     lengte=1.15 cm
  67    Y= 17.42-12.02j mS     lengte=1.16 cm
  68    Y= 17.20-11.96j mS     lengte=1.18 cm
  69    Y= 16.99-11.89j mS     lengte=1.20 cm
  70    Y= 16.78-11.82j mS     lengte=1.22 cm
  71    Y= 16.57-11.75j mS     lengte=1.23 cm
  72    Y= 16.37-11.68j mS     lengte=1.25 cm
  73    Y= 16.17-11.60j mS     lengte=1.27 cm
  74    Y= 15.98-11.52j mS     lengte=1.28 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

we zoeken nu de hoek die overeenkomt met een reeel deel van de admitantie van 16.66 mS

\[ j \omega C= 0.0118 j \]

\[ C =\frac{0.0118}{2 \pi \cdot 1.2 \times 10^9}= 1.56 pF \]

De optimale condensatorwaarde in parallel wordt dus 1.56 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 1.22 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze derde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 163 circuit van de derde oplossing.

Oplossing 4: Bijplaatsen van een spoel in parallel

We plaatsen \(\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{1}{2}\) op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.

Fig. 164 Smith kaart van de vierde oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 285    Y= 15.78+11.44j mS     lengte=4.95 cm
 286    Y= 15.98+11.52j mS     lengte=4.97 cm
 287    Y= 16.17+11.60j mS     lengte=4.98 cm
 288    Y= 16.37+11.68j mS     lengte=5.00 cm
 289    Y= 16.57+11.75j mS     lengte=5.02 cm
 290    Y= 16.78+11.82j mS     lengte=5.03 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

\[ \frac{1}{j \omega L}= - 0.0118 j \]

\[ L =\frac{1}{0.0118\cdot 2 \pi \cdot 1.2 \times 10^9}= 11.2 nH \]

De optimale inductantiewaarde in parallel wordt dus 11.2 nH de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 5 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze vierde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 165 circuit van de vierde oplossing.

Oplossing 5: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een open transmissielijn

De y = 1 - j 0.7 compenseren we door +j 0.7 vertrekkende vanuit g=0.

Fig. 166 Smith kaart van de vijfde oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  70    Y= 16.78-11.82j mS     lengte=1.22 cm
  71    Y= 16.57-11.75j mS     lengte=1.23 cm
  72    Y= 16.37-11.68j mS     lengte=1.25 cm
  73    Y= 16.17-11.60j mS     lengte=1.27 cm
  74    Y= 15.98-11.52j mS     lengte=1.28 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  70       Y= +11.67j mS     lengte=1.22 cm
  71       Y= +11.89j mS     lengte=1.23 cm
  72       Y= +12.11j mS     lengte=1.25 cm
  73       Y= +12.33j mS     lengte=1.27 cm
  74       Y= +12.56j mS     lengte=1.28 cm

Overzicht van de bekomen admitantie van de open transmissielijn als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Hieruit blijkt dat een open transmissielijn met de lengte van \(\frac{71}{360} \frac{\lambda}{2}\) de beste aanpassing geeft.

Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 1.23 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze vijfde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 167 circuit van de vijfde oplossing.

Oplossing 6: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een kortgesloten transmissielijn

De y = 1 - j 0.7 compenseren we door +j 0.7 vertrekkende vanuit g=\(\infty\)

Fig. 168 Smith kaart van de zesde oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
  70    Y= 16.78-11.82j mS     lengte=1.22 cm
  71    Y= 16.57-11.75j mS     lengte=1.23 cm
  72    Y= 16.37-11.68j mS     lengte=1.25 cm
  73    Y= 16.17-11.60j mS     lengte=1.27 cm
  74    Y= 15.98-11.52j mS     lengte=1.28 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 250       Y= +11.67j mS     lengte=4.34 cm
 251       Y= +11.89j mS     lengte=4.36 cm
 252       Y= +12.11j mS     lengte=4.38 cm
 253       Y= +12.33j mS     lengte=4.39 cm
 254       Y= +12.56j mS     lengte=4.41 cm

Overzicht van de bekomen admitantie van de kortgesloten transmissielijn als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 4.35 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze zesde oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 169 circuit van de zesde oplossing.

Oplossing 7: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een open transmissielijn

De y = 1 + j 0.7 compenseren we door -j 0.7 vertrekkende vanuit g=0.

Fig. 170 Smith kaart van de zevende oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 285    Y= 15.78+11.44j mS     lengte=4.95 cm
 286    Y= 15.98+11.52j mS     lengte=4.97 cm
 287    Y= 16.17+11.60j mS     lengte=4.98 cm
 288    Y= 16.37+11.68j mS     lengte=5.00 cm
 289    Y= 16.57+11.75j mS     lengte=5.02 cm
 290    Y= 16.78+11.82j mS     lengte=5.03 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 285       Y= -12.79j mS     lengte=4.95 cm
 286       Y= -12.56j mS     lengte=4.97 cm
 287       Y= -12.33j mS     lengte=4.98 cm
 288       Y= -12.11j mS     lengte=5.00 cm
 289       Y= -11.89j mS     lengte=5.02 cm
 290       Y= -11.67j mS     lengte=5.03 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het schema dat we nodig hebben om deze zevende oplossing te realiseren wordt dus:

Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 5.03 cm

Fig. 171 circuit van de zevende oplossing.

Oplossing 8: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een kortgesloten transmissielijn

De y = 1 + j 0.7 compenseren we door -j 0.7 vertrekkende vanuit g=\(\infty\).

Fig. 172 Smith kaart van de achtste oplossing.

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 285    Y= 15.78+11.44j mS     lengte=4.95 cm
 286    Y= 15.98+11.52j mS     lengte=4.97 cm
 287    Y= 16.17+11.60j mS     lengte=4.98 cm
 288    Y= 16.37+11.68j mS     lengte=5.00 cm
 289    Y= 16.57+11.75j mS     lengte=5.02 cm
 290    Y= 16.78+11.82j mS     lengte=5.03 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

hoek    admitantie (Siemens)     lengte coax (cm)
 105       Y= -12.79j mS     lengte=1.82 cm
 106       Y= -12.56j mS     lengte=1.84 cm
 107       Y= -12.33j mS     lengte=1.86 cm
 108       Y= -12.11j mS     lengte=1.88 cm
 109       Y= -11.89j mS     lengte=1.89 cm
 110       Y= -11.67j mS     lengte=1.91 cm

Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax

Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 1.9 cm

Het schema dat we nodig hebben om deze achtste oplossing te realiseren wordt dus:

Fig. 173 circuit van de achtste oplossing.