Oefening Boost convertor

opgave

Het onderstaande schema beschikbaar op het internet. De ingangsspanning is 12V en de uitgangsspanning is 48V. De voorwaartse spanning over D1 is typisch 0.45V en de aan weerstand van M1 is typisch 0.028 \(\Omega\). De weerstand van het spoel L1 is verwaarloosbaar klein ten opzichte van de weerstand \(R_{SENSE}\) (zie schema) die wel moet meegerekend worden.

1. Wat is de duty cycle als er een verwaarloosbare stroom aan de uitgang loopt?

2. Bereken de duty cycle D als een functie van de stroom \(I_L\)

3. Bereken de duty cycle D als een functie van de stroom \(I_{out}\). Hier bekijken we enkel de duty cycle waarbij een stabiele waarde van de stroom wordt bekomen.

4. Bereken de efficientie als een functie van de stroom \(I_{out}\)

5. Bereken de efficientie als een functie van de output Power \(P_{out}\).

6. Hoe verandert deze efficientie als de chip nog bijkomend 22mA uit de 12V voeding verbruikt?

Fig. 88 Commercieel boost convertor circuit

Oplossing

We berekenen hier eerst de duty cycle als een functie van de stroom die door het spoel loopt (\(I_L\)).

Bereken de duty cycle D als een functie van de stroom \(I_L\)

\[ D \left(V_{in}- (R_L+R_{SENSE}+R_T)I_L\right)+(1-D)\left(V_{in}-V_{D} -(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{out} \right) =0 \]

\[ D \left(V_{in}- (R_L+R_{SENSE}+R_T)I_L\right)- D\left(V_{in}-V_{D} -(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{out} \right) =V_{out}+V_{D} +(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{in} \]

\[ D \left(- (R_T)I_L\right)- D\left(-V_{D} - V_{out} \right) =V_{out}+V_{D} +(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{in} \]

\[ D (V_{out}+V_{D} - R_T I_L) =V_{out}+V_{D} +(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{in} \]

\[ D =\frac{V_{out}+V_{D} +(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{in} }{(V_{out}+V_{D} - R_T I_L)}\]

\[ D =\frac{36.45 +0.005 I_L }{48.45 - 0.028 I_L}\]

Fig. 89 toont het verloop van de bekomen Duty Dycle als een functie van de stroom die door het spoel loopt (\(I_L\)).

Fig. 89 Duty cycle als een functie van de stroom door de spoel

Wanneer we deze grafiek bekijken, lijkt het in dit geval dat we een lineaire benadering kunnen uitvoeren. $\( D =\frac{36.45 }{48.45 } \frac{1 +\frac{0.005}{36.45} I_L }{1 - \frac{0.028}{48.45} I_L}\)$

Dit doen we door een reeks ontwikkeling van de noemer uit te werken:

\[ D = \frac{36.45 }{48.45 } \left(1 +\frac{0.005}{36.45} I_L \right)\left(1 + \frac{0.028}{48.45} I_L+ \dots \right)\]

en deze reeks vervolgens te benaderen door de eerste term:

\[ D \approx \frac{36.45 }{48.45 } \left(1 +\frac{0.005}{36.45} I_L \right)\left(1 + \frac{0.028}{48.45} I_L\right)\]

\[ D \approx \frac{36.45 }{48.45 } \left(1 +\left(\frac{0.005}{36.45} + \frac{0.028}{48.45}\right) I_L\right)\]

\[ D \approx 0.7523 \left(1 +0.000715 I_L\right)\]

Bereken de duty cycle D als een functie van de stroom \(I_{out}\)

\[ I_L (1-D)= I_{out}\]

\[ D (V_{out}+V_{D} - R_T I_L) =V_{out}+V_{D} +(R_L+R_{SENSE})I_L- V_{in} \]

\[ D ((1-D)(V_{out}+V_{D}) - R_T I_{out}) =(1-D)(V_{out}+V_{D}- V_{in}) +(R_L+R_{SENSE})I_{out} \]

\[ -(V_{out}+V_{D}) D^2 +(2 V_{out}+2 V_{D} - R_T I_{out}- V_{in}) D -(V_{out}+V_{D}- V_{in}+(R_L+R_{SENSE})I_{out}) \]

\[D=\frac{-(2 V_{out}+2 V_{D} - R_T I_{out}- V_{in}) +\sqrt{(2 V_{out}+2 V_{D} - R_T I_{out}- V_{in})^2-4(V_{out}+V_{D})(V_{out}+V_{D}- V_{in}+(R_L+R_{SENSE})I_{out})}}{-2(V_{out}+V_{D})} \]

Fig. 90 Duty cycle als een functie van de stroom aan de uitgang

Aangezien de duty cycle erg lineair was als functie van \(I_L\) kunnen we dit ook als basis nemen voor de verdere berekening van de duty cycle als functie van de \(I_{out}\)

\[ D \approx 0.7523 \left(1 +0.000715 I_L\right)\]

\[ D \approx 0.7523 \left(1 +0.000715 \frac{I_{out}}{1-D}\right)\]

\[ D(1-D)= 0.7523 \left(1-D +0.000715 I_{out}\right)\]

\[ D^2 -D + 0.7523 \left(1-D +0.000715 I_{out}\right)=0\]

\[ D^2 -1.7523 D + 0.7523 +0.0005378945 I_{out} \approx 0\]

Opnieuw heeft deze vierkantsvergelijking 2 oplossingen. De berekening met de + levert ons het onstabiele stroompunt op. De correcte benadering vinden we in:

\[D \approx \frac{1.7523 -\sqrt{1.7523^2-4(0.7523 +0.0005378945 I_{out})}}{2} \]

Fig. 90 toont dat zowel de correcte berekening als de benadering weinig van elkaar verschillen.

0.0005378945

(0.06135528999999984, 0.03506752229514367)

(0.7523000000000002, 0.0021715563181267687)

\[D \approx \frac{1.7523 -\sqrt{0.061355 (1 -0.035 I_{out})}}{2} \]

\[D \approx 0.7523 + 0.00217 I_{out}\]

Bereken de efficientie als een functie van de stroom \(I_{out}\)

Fig. 91 efficientie als een functie van de stroom aan de uitgang

Bereken de efficientie als een functie van de output Power \(P_{out}\)

Fig. 92 Efficientie als een functie van de output power