Opgave¶
Gebruik je Smith kaart om een antenne van 150 Ohm aan te passen aan een coax van 50 Ohm voor een frequentie van 600 MHz ($\lambda$= 25 cm; $\epsilon_r$=4)? Welke verschillende oplossingen zijn er mogelijk?
Oplossing 1: Bijplaatsen van een capaciteit in serie¶
We plaatsen $z= \frac{Z_L}{Z_0}=3$ op de Smith kaart (rode dotje) en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de Smith kaart (groene dotje).
Als we van de aanpassing (groene dot) naar de belasting gaan (rode dot), draaien we in tegenwijzerzin over een afstand van $300^o$. Dit geeft een afstand van $\frac{300}{360}\frac{\lambda}{2}$=0.416 $\lambda$ = 10.41cm. ($\lambda$= 25 cm is gegeven)
De nieuwe z = 1 + j 1.15. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm + j 57.5 Ohm (zie Table 1). Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een condensator met impedantie van ongeveer - j 57.5 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van de lijnimpedantie (zie Table 1) juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.
$$ \frac{1}{j \omega C}= - j 57.5 \Omega$$
Als we vervolgens $\omega$ invullen, wetende dat de freqentie f=600 MHz:
$$ \omega= 2 \pi \cdot 600\times 10^6 $$
$$ C= 4.59 pF $$
hoek impedantie (Ohm) lengte coax (cm) 297 Z= 47.11+55.97j Ohm lengte=10.31 cm 298 Z= 48.04+56.56j Ohm lengte=10.35 cm 299 Z= 49.01+57.15j Ohm lengte=10.38 cm 300 Z= 50.00+57.74j Ohm lengte=10.42 cm 301 Z= 51.02+58.31j Ohm lengte=10.45 cm 302 Z= 52.08+58.89j Ohm lengte=10.49 cm
Overzicht van de bekomen impedantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
De optimale condensatorwaarde in serie wordt dus 4.59 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 10.4 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze eerst oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 2: Bijplaatsen van een inductantie in serie¶
We plaatsen $\frac{Z_L}{Z_0}=3$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het onderste deel van de kaart.
We zoomen vervolgens in op het deel van de cirkel die de eenheidscirkel snijdt.
hoek impedantie (Ohm) lengte coax (cm) 57 Z= 53.16-59.45j Ohm lengte=1.98 cm 58 Z= 52.08-58.89j Ohm lengte=2.01 cm 59 Z= 51.02-58.31j Ohm lengte=2.05 cm 60 Z= 50.00-57.74j Ohm lengte=2.08 cm 61 Z= 49.01-57.15j Ohm lengte=2.12 cm
Overzicht van de bekomen impedantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
De nieuwe z = 1 - j 1.15. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm - j 57.7 Ohm. Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een spoel met impedantie van ongeveer j 57.7 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van zlijn juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.
$$ j \omega L= j 57.7 \Omega$$
$$ \omega= 2 \pi \cdot 600 \times 10^6 $$
$$ L=15 nH $$
Het schema dat we nodig hebben om deze tweede oplossing te realiseren wordt dus:
De optimale inductantiewaarde in serie wordt dus 15 nH en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 2.1 cm
Oplossing 3: Bijplaatsen van een capaciteit in parallel¶
We plaatsen $\frac{Z_L}{Z_0}=3$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.
Omdat een Smith kaart in admitantie het spiegelbeeld is van een Smith kaart in impedentie, kunnen we ook de kaart spiegelen. We moeten dan wel aan de andere kant van de kaart vertrekken. Dit is weergegeven in figuur 6.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 237 Y= 21.27-23.78j mS lengte=8.23 cm 238 Y= 20.83-23.55j mS lengte=8.26 cm 239 Y= 20.41-23.33j mS lengte=8.30 cm 240 Y= 20.00-23.09j mS lengte=8.33 cm 241 Y= 19.60-22.86j mS lengte=8.37 cm 242 Y= 19.22-22.62j mS lengte=8.40 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
De optimale condensatorwaarde in parallel wordt dus 6.12 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 8.3 cm <\p>
$$ j \omega C= 0.023 j $$
$$ C =\frac{0.023}{2 \pi \cdot 600 \times 10^6}= 6.12 pF $$
Het schema dat we nodig hebben om deze derde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 4: Bijplaatsen van een spoel in parallel¶
We plaatsen $\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{1}{3}$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 118 Y= 19.22+22.62j mS lengte=4.10 cm 119 Y= 19.60+22.86j mS lengte=4.13 cm 120 Y= 20.00+23.09j mS lengte=4.17 cm 121 Y= 20.41+23.33j mS lengte=4.20 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
$$ \frac{1}{j \omega L}= - 0.023 j $$
$$ L =\frac{1}{0.023\cdot 2 \pi \cdot 600 \times 10^6}= 11.5 nH $$
De optimale inductantiewaarde in parallel wordt dus 11.5 nH de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 4.1 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze vierde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 5: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een open transmissielijn¶
De y = 1 - j 1.15 compenseren we door +j 1.15 vertrekkende vanuit g=0.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 238 Y= 20.83-23.55j mS lengte=8.26 cm 239 Y= 20.41-23.33j mS lengte=8.30 cm 240 Y= 20.00-23.09j mS lengte=8.33 cm 241 Y= 19.60-22.86j mS lengte=8.37 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 95 Y= +21.83j mS lengte=3.30 cm 96 Y= +22.21j mS lengte=3.33 cm 97 Y= +22.61j mS lengte=3.37 cm 98 Y= +23.01j mS lengte=3.40 cm 99 Y= +23.42j mS lengte=3.44 cm 100 Y= +23.84j mS lengte=3.47 cm
Overzicht van de bekomen admitantie van de open transmissielijn als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
Hieruit blijkt dat een open transmissielijn met de lengte van $\frac{98}{360} \frac{\lambda}{2}$ de beste aanpassing geeft.
Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 3.4 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze vijfde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 6: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een kortgesloten transmissielijn¶
De y = 1 - j 1.15 compenseren we door +j 1.15 vertrekkende vanuit g=$\infty$
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 238 Y= 20.83-23.55j mS lengte=8.26 cm 239 Y= 20.41-23.33j mS lengte=8.30 cm 240 Y= 20.00-23.09j mS lengte=8.33 cm 241 Y= 19.60-22.86j mS lengte=8.37 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 275 Y= +21.83j mS lengte=9.55 cm 276 Y= +22.21j mS lengte=9.58 cm 277 Y= +22.61j mS lengte=9.62 cm 278 Y= +23.01j mS lengte=9.65 cm 279 Y= +23.42j mS lengte=9.69 cm 280 Y= +23.84j mS lengte=9.72 cm
Overzicht van de bekomen admitantie van de kortgesloten transmissielijn als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 9.7 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze zesde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 7: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een open transmissielijn¶
De y = 1 + j 1.15 compenseren we door -j 1.15 vertrekkende vanuit g=0.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 118 Y= 19.22+22.62j mS lengte=4.10 cm 119 Y= 19.60+22.86j mS lengte=4.13 cm 120 Y= 20.00+23.09j mS lengte=4.17 cm 121 Y= 20.41+23.33j mS lengte=4.20 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 260 Y= -23.84j mS lengte=9.03 cm 261 Y= -23.42j mS lengte=9.06 cm 262 Y= -23.01j mS lengte=9.10 cm 263 Y= -22.61j mS lengte=9.13 cm 264 Y= -22.21j mS lengte=9.17 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
Het schema dat we nodig hebben om deze zevende oplossing te realiseren wordt dus:
Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 9.1 cm
Oplossing 8: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een kortgesloten transmissielijn¶
De y = 1 + j 1.15 compenseren we door -j 1.15 vertrekkende vanuit g=$\infty$.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 118 Y= 19.22+22.62j mS lengte=4.10 cm 119 Y= 19.60+22.86j mS lengte=4.13 cm 120 Y= 20.00+23.09j mS lengte=4.17 cm 121 Y= 20.41+23.33j mS lengte=4.20 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 80 Y= -23.84j mS lengte=2.78 cm 81 Y= -23.42j mS lengte=2.81 cm 82 Y= -23.01j mS lengte=2.85 cm 83 Y= -22.61j mS lengte=2.88 cm 84 Y= -22.21j mS lengte=2.92 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 2.8 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze achtste oplossing te realiseren wordt dus:
than answers that can't be questioned.