Opgave¶
Hoe gebruik je een Smith kaart om een antenne van 80 Ohm aan te passen aan een coax van 50 Ohm voor een frequentie van 300 MHz ($\lambda$= 50 cm)?
Oplossing 1: Bijplaatsen van een capaciteit in serie¶
We plaatsen $z= \frac{Z_L}{Z_0}=1.6$ op de Smith kaart (rode dotje) en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de Smith kaart (groene dotje).
Als we van de aanpassing (groene dot) naar de belasting gaan (rode dot), draaien we in tegenwijzerzin over een afstand van $283^o$. Dit geeft een afstand van $\frac{283}{360}\frac{\lambda}{2}$=0.393 $\lambda$ = 19.65cm. ($\lambda$= 50 cm is gegeven)
De nieuwe z = 1 + j 0.47. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm + j 23.68 Ohm (zie Table 1). Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een condensator met impedantie van ongeveer - j 23.68 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van de lijnimpedantie (zie Table 1) juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.
$$ \frac{1}{j \omega C}= - j 23.68 \Omega$$
Als we vervolgens $\omega$ invullen, wetende dat de freqentie f=300 MHz:
$$ \omega= 2 \pi \cdot 300\times 10^6 $$
$$ C= 22.4 pF $$
hoek impedantie (Ohm) lengte coax (cm) 280 Z= 48.65+23.35j Ohm lengte=19.44 cm 281 Z= 49.04+23.47j Ohm lengte=19.51 cm 282 Z= 49.45+23.58j Ohm lengte=19.58 cm 283 Z= 49.86+23.68j Ohm lengte=19.65 cm 284 Z= 50.27+23.78j Ohm lengte=19.72 cm
De optimale condensatorwaarde in serie wordt dus 22.4 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 19.65 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze eerst oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 2: Bijplaatsen van een inductantie in serie¶
We plaatsen $\frac{Z_L}{Z_0}=1.6$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de r=1 cirkel snijden in het onderste deel van de kaart.
hoek impedantie (Ohm) lengte coax (cm) 75 Z= 50.69-23.87j Ohm lengte=5.21 cm 76 Z= 50.27-23.78j Ohm lengte=5.28 cm 77 Z= 49.86-23.68j Ohm lengte=5.35 cm 78 Z= 49.45-23.58j Ohm lengte=5.42 cm 79 Z= 49.04-23.47j Ohm lengte=5.49 cm
Overzicht van de bekomen impedantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
De nieuwe z = 1 - j 0.47. Daaruit volgt dat Z = 50 Ohm - j 23.68 Ohm. Het complexe deel van deze impedantie kunnen we compenseren door een spoel met impedantie van ongeveer j 23.68 Ohm toe te voegen. Als we het helemaal juist willen hebben kunnen we in de array van zlijn juist gaan kijken waar het reele deel 50 Ohm wordt en wat we dan als complex deel over houden.
$$ j \omega L= j 23.68 \Omega$$
$$ \omega= 2 \pi \cdot 300 \times 10^6 $$
$$ L=12.56 nH $$
Het schema dat we nodig hebben om deze tweede oplossing te realiseren wordt dus:
De optimale inductantiewaarde in serie wordt dus 12.56 nH en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 5.3 cm
Oplossing 3: Bijplaatsen van een capaciteit in parallel¶
We plaatsen $\frac{Z_L}{Z_0}=1.6$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.
Omdat een Smith kaart in admitantie het spiegelbeeld is van een Smith kaart in impedentie, kunnen we ook de kaart spiegelen. We moeten dan wel aan de andere kant van de kaart vertrekken. Dit is weergegeven in figuur 6.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 255 Y= 20.28-9.55j mS lengte=17.71 cm 256 Y= 20.11-9.51j mS lengte=17.78 cm 257 Y= 19.94-9.47j mS lengte=17.85 cm 258 Y= 19.78-9.43j mS lengte=17.92 cm 259 Y= 19.62-9.39j mS lengte=17.99 cm
De optimale condensatorwaarde in parallel wordt dus 5 pF en de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 17.8 cm
$$ j \omega C= 0.00947 j $$
$$ C =\frac{0.00947}{2 \pi \cdot 300 \times 10^6}= 5 pF $$
Het schema dat we nodig hebben om deze derde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 4: Bijplaatsen van een spoel in parallel¶
We plaatsen $\frac{Z_L}{Z_0}=\frac{1}{1.6}$ op de Smith kaart en we zoeken waar we de y=1 cirkel snijden in het bovenste deel van de kaart.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 100 Y= 19.46+9.34j mS lengte=6.94 cm 101 Y= 19.62+9.39j mS lengte=7.01 cm 102 Y= 19.78+9.43j mS lengte=7.08 cm 103 Y= 19.94+9.47j mS lengte=7.15 cm 104 Y= 20.11+9.51j mS lengte=7.22 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
$$ \frac{1}{j \omega L}= - 0.00947 j $$
$$ L =\frac{1}{0.00947\cdot 2 \pi \cdot 300 \times 10^6}= 56 nH $$
De optimale inductantiewaarde in parallel wordt dus 56 nH de nodige lengte van de coax tussen de antenne en de aanpassing is 7.2 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze vierde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 5: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een open transmissielijn¶
De y = 1 - j 0.47 compenseren we door +j 0.47 vertrekkende vanuit g=0.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 255 Y= 20.28-9.55j mS lengte=17.71 cm 256 Y= 20.11-9.51j mS lengte=17.78 cm 257 Y= 19.94-9.47j mS lengte=17.85 cm 258 Y= 19.78-9.43j mS lengte=17.92 cm 259 Y= 19.62-9.39j mS lengte=17.99 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 50 Y= +9.33j mS lengte=3.47 cm 51 Y= +9.54j mS lengte=3.54 cm 52 Y= +9.75j mS lengte=3.61 cm 53 Y= +9.97j mS lengte=3.68 cm 54 Y= +10.19j mS lengte=3.75 cm
Hieruit blijkt dat een open transmissielijn met de lengte van $\frac{51}{360} \frac{\lambda}{2}$ de beste aanpassing geeft.
Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 3.54 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze vijfde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 6: Oplossing 3 waarbij de condensator vervangen is door een kortgesloten transmissielijn¶
De y = 1 - j 0.47 compenseren we door +j 0.47 vertrekkende vanuit g=$\infty$
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 255 Y= 20.28-9.55j mS lengte=17.71 cm 256 Y= 20.11-9.51j mS lengte=17.78 cm 257 Y= 19.94-9.47j mS lengte=17.85 cm 258 Y= 19.78-9.43j mS lengte=17.92 cm 259 Y= 19.62-9.39j mS lengte=17.99 cm
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 230 Y= +9.33j mS lengte=15.97 cm 231 Y= +9.54j mS lengte=16.04 cm 232 Y= +9.75j mS lengte=16.11 cm 233 Y= +9.97j mS lengte=16.18 cm 234 Y= +10.19j mS lengte=16.25 cm
Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van de condensator is dus: 16 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze zesde oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 7: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een open transmissielijn¶
De y = 1 + j 0.47 compenseren we door -j 0.47 vertrekkende vanuit g=0.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 100 Y= 19.46+9.34j mS lengte=6.94 cm 101 Y= 19.62+9.39j mS lengte=7.01 cm 102 Y= 19.78+9.43j mS lengte=7.08 cm 103 Y= 19.94+9.47j mS lengte=7.15 cm 104 Y= 20.11+9.51j mS lengte=7.22 cm
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 305 Y= -10.41j mS lengte=21.18 cm 306 Y= -10.19j mS lengte=21.25 cm 307 Y= -9.97j mS lengte=21.32 cm 308 Y= -9.75j mS lengte=21.39 cm 309 Y= -9.54j mS lengte=21.46 cm 310 Y= -9.33j mS lengte=21.53 cm
Het stukje open coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 21.46 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze zevende oplossing te realiseren wordt dus:
Oplossing 8: Oplossing 4 waarbij het spoel vervangen is door een kortgesloten transmissielijn¶
De y = 1 + j 0.47 compenseren we door -j 0.47 vertrekkende vanuit g=$\infty$.
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 100 Y= 19.46+9.34j mS lengte=6.94 cm 101 Y= 19.62+9.39j mS lengte=7.01 cm 102 Y= 19.78+9.43j mS lengte=7.08 cm 103 Y= 19.94+9.47j mS lengte=7.15 cm 104 Y= 20.11+9.51j mS lengte=7.22 cm 105 Y= 20.28+9.55j mS lengte=7.29 cm
Overzicht van de bekomen admitantie als funktie van de hoek op de Smith kaart. De laatste kolom geeft de nodige lengte van de coax
hoek admitantie (Siemens) lengte coax (cm) 125 Y= -10.41j mS lengte=8.68 cm 126 Y= -10.19j mS lengte=8.75 cm 127 Y= -9.97j mS lengte=8.82 cm 128 Y= -9.75j mS lengte=8.89 cm 129 Y= -9.54j mS lengte=8.96 cm 130 Y= -9.33j mS lengte=9.03 cm
Het stukje kortgesloten coax dat we moeten voorzien ter vervanging van het spoel is dus: 9 cm
Het schema dat we nodig hebben om deze achtste oplossing te realiseren wordt dus:
than answers that can't be questioned.