Filters

Synthese aan de hand van opamps

Jan Genoe

November 2025

Generic circuit

MNA matrix van het algemene circuit

• na invullen in de MNA matrix krijgen we:

MNA matrix van het algemene circuit

$$ \begin{bmatrix} \vdots & & & & & \vdots & & & \vdots \\ \dots & & & & & \dots & & & \dots \\ \vdots & & & & & \vdots & & & \vdots \\ \dots & & & & & \dots & \dots & & \dots \\ \vdots & & & & & \vdots & & & \vdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vdots \\ V_{out}(s) \\ \vdots\\ \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vdots \\ \\ \vdots \\ V_{in}(s)\\ \vdots \end{bmatrix} $$

Oplossing van de MNA matrix

• de transferfunctie wordt:

$$T(j \omega)=\frac{ V_{out}(j \omega)}{ V_{in}(j \omega)}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{2n} a_i(j \omega)^i}{\sum\limits_{i=0}^{2n} b_i(j \omega)^i}$$

met $n$ het aantal knopen in het circuit. Het feit dat er in de som $2n$ voorkomt is omdat er in elk van de elementen van de matrix zowel een spoel als een condensator kan voorkomen. Veel circuits hebben echter geen spoelen (omdat deze moeilijk in te bouwen zijn op geïntegreerde schakelingen. In dat geval kunnen we de oplossing verder vereenvoudigen tot:

Oplossing van de MNA matrix zonder spoelen

• de transferfunctie wordt:

$$T(j \omega)=\frac{ V_{out}(j \omega)}{ V_{in}(j \omega)}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n} a_i(j \omega)^i}{\sum\limits_{i=0}^{n} b_i(j \omega)^i}$$

Oplossing van de MNA matrix zonder spoelen

• de transferfunctie wordt:

$$T(j \omega)=\frac{ V_{out}(j \omega)}{ V_{in}(j \omega)}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n} a_i(j \omega)^i}{\sum\limits_{i=0}^{n} b_i(j \omega)^i}= \frac{\prod\limits_{i=0}^{n} (j \omega- n_i)}{\prod\limits_{i=0}^{n} (j \omega-p_i)}$$

Realisatie in cascadeerbare actieve circuits

• Om een gevraagde transferfunctie te realiseren gaan we deze opsplitsen in een product van eentermen en tweetermen met reële coëfficiënten.
• We realiseren elk van deze circuits op zich en plaatsen ze gewoon achter elkaar.
  • Het volgende circuit mag wel het vorige niet belasten, anders verandert de transferfunctie.

$$T(j \omega)= \frac{\prod\limits_{i=0}^{n} (j \omega- n_i)}{\prod\limits_{i=0}^{n} (j \omega-p_i)}= T_1(j \omega) \times T_2(j \omega) \times T_3(j \omega) \times \dots \times T_n(j \omega) $$

Hardware implementatie in building blocks

Eerste en tweede orde filters

Eerste en tweede orde filters

Transfer functie eerste orde bouwblok

De transfer functie van een eerste orde blok is:

Transfer functie eerste orde bouwblok

$$ V_{out}=-\frac{b_1(j \omega) +b_0}{a_1(j \omega) +a_0} V_{in}$$

Basisblok van een algemeen eerste orde filter

Basisblok in functie van de impedanties

Eerste orde laagdoorlaatfilter

Eerste orde hoogdoorlaatfilter

Eerste orde filter

Eerste orde filter

Transfer functie tweede orde blok

De transfer functie van een tweede orde blok is:

Transfer functie tweede orde blok

$$ V_{out} = - \frac{b_2 (j \omega)^2 + b_1(j \omega) +b_0}{a_2 (j \omega)^2 + a_1(j \omega) +a_0} V_{in}$$

Bovenste gedeelte van het BiQuad circuit

Het volledige BiQuad circuit

Sallen en Key laagdoorlaat circuit

Sallen and Key Low pass filter

* Sallen and Key Low pass filter
R1 1 2 10k
R2 2 3 10k
XOpAmp 3 4 8 9 5 8 opamp
C1 2 5 1.6nF
C2 3 0 1.6nF
Rkx 5 4 100k
Rx 4 0 100k
Vin 1 0 AC 0.5 0 DC 0
VPOS 8 0 DC +2.5V
VNEG 9 0 DC -2.5V

Sallen en Key LP: ideale 10 MHz opamp

Sallen en Key LP: LMV981 opamp

Sallen en Key hoogdoorlaat circuit

Sallen en Key banddoorlaat circuit

Sallen en Key banddoorlaat circuit (2)

Filter specificaties

Filter specificaties

Filter specificaties: laagdoorlaatfilter

Filter specificaties: banddoorlaatfilter

Filter types

De verschillende filters die we in dit hoofdstuk zullen ontwerpen zijn:

• Laagdoorlaat filter (low-pass filter)
• Hoogdoorlaat filter (high-pass filter)
• Alles doorlaat filter (all-pass filter)
• Banddoorlaat filter (band-pass filter)
• Bandsper filter (band-stop filter)

Op het eerste gezicht lijkt een allesdoorlaatfilter niet echt nuttig maar het belang hiervan zit hem in de invloed op de fase van het signaal.

Frequentietransformaties

Frequentietransformaties

Frequentietransformaties

Hiervoor gaan we typisch de transferfunctie herschrijven als functie van de parameter S, die gelijk is aan:

$$S=\frac{i \omega}{\omega_o} $$

$$i \omega - p_i =\frac{i \omega}{\omega_o}- \frac{p_i}{\omega_o} = S - \frac{p_i}{\omega_o} $$

$$i \omega - n_i =\frac{i \omega}{\omega_o}- \frac{n_i}{\omega_o} = S - \frac{n_i}{\omega_o} $$

laagdoorlaatfilter naar hoogdoorlaatfilter

De frequentietransformatie die we hiervoor gebruiken is:

$$S=\frac{\omega_o}{i \omega} $$

laagdoorlaatfilter naar banddoorlaatfilter

De frequentietransformatie die we hiervoor gebruiken is:

$$S=\frac{1}{\omega_2-\omega_1}\frac{(i \omega)^2 + \omega_1\omega_2}{i \omega} $$

Specifieke filter blokken

Specifieke filter blokken

Filter types

De verschillende filters die we in dit hoofdstuk zullen ontwerpen zijn:

• Butterworth filter
• Chebyshev filter
• Invers Chebyshev filter
• Bessel-Thomson filter

Butterworth 3de orde laagdoorlaatfilter: Transfer functie

Als eerste voorbeeld ontwerpen we een analoge 3de orde laagdoorlaatfilter van het type Butterworth met afsnijfrequentie 1 MHz. De transferfunctie $H(s)$ of $H(j\omega)$ die we bekomen is:

Butterworth 3de orde laagdoorlaatfilter: Transfer functie

$$ H(s) = \frac{\sum\limits_{n=0}^M b_n s^n}{\sum\limits_{n=0}^N a_n s^n} = \frac{\sum\limits_{n=0}^0 b_n s^n}{\sum\limits_{n=0}^3 a_n s^n}$$

Butterworth 3de orde laagdoorlaatfilter: Transfer functie

$a_n$ en $b_n$ zijn de coëfficiënten van de veeltermen in de transferfunctie. Aangezien we hier een derde orde laagdoorlaatfilter ontwerpen is $M=0$ en $N=3$. Voor deze oefening is het resultaat van de berekening van deze coëfficiënten:

Coeficienten derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 2.4805021344239852e+20
Veelterm coefficienten noemer: N= 3
a[ 3 ] = 1.0
a[ 2 ] = 12566370.614359174
a[ 1 ] = 78956835208714.88
a[ 0 ] = 2.4805021344239852e+20

Een plot van deze transferfunctie zien we in {numref}filter_Fig8. We stellen inderdaad vast dat de versterking (Gain) heel erg vlak is tot 1 MHz en daarna met 60 dB per decade afneemt.

Amplitude en fase derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Polen derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter(1 MHz)

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 3
p[ 1 ] = (-3141592.6535897935+5441398.092702653j)
p[ 2 ] = (-6283185.307179586-0j)
p[ 3 ] = (-3141592.6535897935-5441398.092702653j)

Polen derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter(1 MHz)

Opsplitsing derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter

Detail rond de afsnijfrequentie

Opsplitsing in de bouwblokken H1 en H2

Implementatie tweede orde filter H1

Implementatie eerste orde filter H2

Coefficienten transferfunctie vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 9.792629913129003e+33
Veelterm coefficienten noemer: N= 5
a[ 5 ] = 1.0
a[ 4 ] = 20332814.76926104
a[ 3 ] = 206711678220539.9
a[ 2 ] = 1.2988077794177306e+21
a[ 1 ] = 5.043559043399954e+27
a[ 0 ] = 9.792629913129004e+33

Voor een laagdoorlaatfilter van de 5de orde is de orde van de veelterm in de teller 0 en de order van de veelterm in de noemer 5.

Amplitude en fase vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Polen vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 5
p[ 1 ] = (-1941611.0387254667+5975664.329483111j)
p[ 2 ] = (-5083203.69231526+3693163.6609809133j)
p[ 3 ] = (-6283185.307179586-0j)
p[ 4 ] = (-5083203.69231526-3693163.6609809133j)
p[ 5 ] = (-1941611.0387254667-5975664.329483111j)

Polen vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Opsplitsing in 3 transferfunkties

Hardware implementatie in 3 building blocks

Vergelijking derde en vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter

7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 7
b[ 7 ] = 6.334013983218556e+58
b[ 6 ] = 0.0
b[ 5 ] = 0.0
b[ 4 ] = 0.0
b[ 3 ] = 0.0
b[ 2 ] = 0.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 14
a[ 14 ] = 1.0
a[ 13 ] = 1129455138.528784
a[ 12 ] = 7.760089165897884e+17
a[ 11 ] = 3.654151505077993e+26
a[ 10 ] = 1.293535546920629e+35
a[ 9 ] = 3.5017090931362664e+43
a[ 8 ] = 7.334620231296047e+51
a[ 7 ] = 1.1783749530590898e+60
a[ 6 ] = 1.4477960023023706e+68
a[ 5 ] = 1.3643931993116192e+76
a[ 4 ] = 9.948728770520122e+83
a[ 3 ] = 5.547604782936569e+91
a[ 2 ] = 2.325495035605259e+99
a[ 1 ] = 6.681091689314365e+106
a[ 0 ] = 1.1676379112645588e+114

7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 7
z[ 1 ] = 0j
z[ 2 ] = 0j
z[ 3 ] = 0j
z[ 4 ] = 0j
z[ 5 ] = 0j
z[ 6 ] = 0j
z[ 7 ] = 0j
Lijst der polen: N= 14
p[ 1 ] = (-9467553.01746494-62713329.10036281j)
p[ 2 ] = (-30211474.606362037-61659756.49600357j)
p[ 3 ] = (-58777850.02496373-58866599.60061156j)
p[ 4 ] = (-125663706.14359173-62831853.07179589j)
p[ 5 ] = (-58777850.02496373+58866599.60061156j)
p[ 6 ] = (-30211474.606362037+61659756.49600357j)
p[ 7 ] = (-9467553.01746494+62713329.10036281j)
p[ 8 ] = (-46458057.493502825+307739438.435567j)
p[ 9 ] = (-126488603.88224223+258155439.82934594j)
p[ 10 ] = (-167660324.09626448+167913476.98651484j)
p[ 11 ] = (-125663706.14359173+62831853.07179589j)
p[ 12 ] = (-167660324.09626448-167913476.98651484j)
p[ 13 ] = (-126488603.88224223-258155439.82934594j)
p[ 14 ] = (-46458057.493502825-307739438.435567j)

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Vergelijking banddoorlaatfilter en opeenvolging laagdoorlaat- en hoogdoorlaatfilter

Transferfunctie 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 7
b[ 7 ] = 1.082225670413975e+53
b[ 6 ] = 0.0
b[ 5 ] = 0.0
b[ 4 ] = 0.0
b[ 3 ] = 0.0
b[ 2 ] = 0.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 14
a[ 14 ] = 1.0
a[ 13 ] = 169418270.77931747
a[ 12 ] = 7.027364430041076e+17
a[ 11 ] = 1.0074611841037228e+26
a[ 10 ] = 2.1017496540749808e+35
a[ 9 ] = 2.488471395316168e+43
a[ 8 ] = 3.4683129207221617e+52
a[ 7 ] = 3.2679992552874596e+60
a[ 6 ] = 3.4107645311434367e+69
a[ 5 ] = 2.406576000783415e+77
a[ 4 ] = 1.998855398085796e+86
a[ 3 ] = 9.422413939327687e+93
a[ 2 ] = 6.463381596708082e+102
a[ 1 ] = 1.5323607880306775e+110
a[ 0 ] = 8.894760315452719e+118

Transferfunctie 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 7
z[ 1 ] = 0j
z[ 2 ] = 0j
z[ 3 ] = 0j
z[ 4 ] = 0j
z[ 5 ] = 0j
z[ 6 ] = 0j
z[ 7 ] = 0j
Lijst der polen: N= 14
p[ 1 ] = (-3949021.641305336-295726397.242198j)
p[ 2 ] = (-11200424.836296545-298982612.7578789j)
p[ 3 ] = (-16539450.539423024-305061656.189032j)
p[ 4 ] = (-18849555.92153874-313026248.8897938j)
p[ 5 ] = (-16539450.539423024+305061656.189032j)
p[ 6 ] = (-11200424.836296545+298982612.7578789j)
p[ 7 ] = (-3949021.641305336+295726397.242198j)
p[ 8 ] = (-4439819.935339821+332480313.6424786j)
p[ 9 ] = (-12304586.93699407+328456965.2578802j)
p[ 10 ] = (-17426275.57876118+321418687.7969175j)
p[ 11 ] = (-18849555.92153874+313026248.8897938j)
p[ 12 ] = (-17426275.57876118-321418687.7969175j)
p[ 13 ] = (-12304586.93699407-328456965.2578802j)
p[ 14 ] = (-4439819.935339821-332480313.6424786j)

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Vergelijking 7de orde banddoorlaatfilter en opeenvolging laagdoorlaat- en hoogdoorlaatfilter

Chebyshev filter: Transferfunctie

De transferfunctie is:

• n rimpels in de doorlaatband

met:

met S voor een laagdoorlaatfilter:

De amplitude voor $\omega=\omega o$ is:

• dit is ook de amplitude van de rimpel

Boven deze frequentie daalt deze functie als:

$$ G^2_n(\omega)=\frac{1}{1+\epsilon^2 T_n^2(S)}$$

$$ T_n(x)=\cos(n \arccos(x) )$$

$$ S=\frac{j \omega}{\omega_o}$$

$$ |G_n(\omega=\omega_o)|=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}$$

$$ |G_n(S)| \approx \frac{1}{\epsilon^2 2^{n-1} | S|^n }$$

40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 2.298652790795694e+24
Veelterm coefficienten noemer: N= 3
a[ 3 ] = 1.0
a[ 2 ] = 92822184.81844565
a[ 1 ] = 5.168208012246375e+16
a[ 0 ] = 2.2986527907956946e+24

40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Detail van de 6dB passband

Polen derde orde 40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 3
p[ 1 ] = (-23205546.204611413+221335928.5095666j)
p[ 2 ] = (-46411092.40922282-0j)
p[ 3 ] = (-23205546.204611413-221335928.5095666j)

Polen derde orde 40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

120 MHz 8ste orde Chebyshev laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 1.0669416336250132e+69
Veelterm coefficienten noemer: N= 8
a[ 8 ] = 1.0
a[ 7 ] = 524820305.9616953
a[ 6 ] = 1.2746966037803576e+18
a[ 5 ] = 5.1937707944741785e+26
a[ 4 ] = 5.104888759746549e+35
a[ 3 ] = 1.45769782715832e+44
a[ 2 ] = 6.590270478283454e+52
a[ 1 ] = 1.0103634193419598e+61
a[ 0 ] = 1.3431999354717115e+69

120 MHz 8ste orde Chebyshev laagdoorlaatfilter

Detail van de 2dB passband

Polen 120 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 8
p[ 1 ] = (-19974783.518686887+746281824.2305412j)
p[ 2 ] = (-56883370.83720408+632667181.5530242j)
p[ 3 ] = (-85131980.59479763+422734695.6263414j)
p[ 4 ] = (-100420018.03015907+148444684.39010677j)
p[ 5 ] = (-100420018.03015907-148444684.39010677j)
p[ 6 ] = (-85131980.59479763-422734695.6263414j)
p[ 7 ] = (-56883370.83720408-632667181.5530242j)
p[ 8 ] = (-19974783.518686887-746281824.2305412j)

Polen 120 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Vergelijking Butterworth en Chebyshev laagdoorlaatfilters (8ste orde)

Transferfunctie Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 1.780752121671573e+16
Veelterm coefficienten noemer: N= 2
a[ 2 ] = 1.0
a[ 1 ] = 121560720.41014235
a[ 0 ] = 2.5153792295277244e+16

Transferfunctie Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Polen van de Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 2
p[ 1 ] = (-60780360.20507117+146490750.93199244j)
p[ 2 ] = (-60780360.20507117-146490750.93199244j)

Polen van de Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Transferfunktie van een Bessel Thomson hoogdoorlaatfilter (1 kHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 2
b[ 2 ] = 1.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 2
a[ 2 ] = 1.0
a[ 1 ] = 10882.796185405305
a[ 0 ] = 39478417.60435742

Transferfunktie van een Bessel Thomson hoogdoorlaatfilter (1 kHz)

Switched Capacitor filters

Switched Capacitor filters

Voor de integratie van filters op geïntegreerde schakelingen worden vaak geschakelde condensatoren (Switched Capacitors) gebruikt omwille van de volgende reden:

Switched Capacitor weerstand (SC)

• Weerstanden op chip zijn nooit heel erg nauwkeurig
• We kunnen een weerstand vervangen door een condensator en 2 schakelaars

$$i=f C_s (V_{in}-V_{out})$$

$$R=\frac{1}{f C_s }$$

Betere SC weerstand

• Het eenvoudige circuit heeft last van de parasitaire capaciteiten
• Het verdubbelen van de schakelaars lost dit probleem op

$$i=f C_s (V_{in}-V_{out})$$

$$R=\frac{1}{f C_s }$$

Verbeterde Switched Capacitor weerstand

Bovenste gedeelte van het BiQuad circuit

SC BiQuad filter

Merk op dat bij het omschakelen naar de Switched Capacitor implementatie de laatste stage (inverterende opamp) verdwenen  is. De truc is dat voor R3 de klokken omgewisseld zijn, waardoor de stomen omgekeerd zijn en het geheel zich dus gedraagt als een negatieve weerstand

I would rather have questions that can't be answered
than answers that can't be questioned.

Richard Feynman