Filters

Synthese aan de hand van opamps

Jan Genoe

November 2024

Transfer functie eerste orde bouwblok

Eerste orde filter bouwblokken

De transfer functie van een eerste orde blok is:

$$ V_{out}=-\frac{b_1(j \omega) +b_0}{a_1(j \omega) +a_0} V_{in}$$

Basisblok van een algemeen eerste orde filter

Om dit basisblok in detail te berekenen schrijven we dit eerst in functie van de 2 impedanties $Z_1$ en $Z_2$ (zie {numref}fig2).

Basisblok in functie van de impedanties

Eerste orde laagdoorlaatfilter

Eerste orde hoogdoorlaatfilter

Transfer functie tweede orde blok

Tweede orde filter blokken

De transfer functie van een tweede orde blok is:

$$ V_{out} = - \frac{b_2 (j \omega)^2 + b_1(j \omega) +b_0}{a_2 (j \omega)^2 + a_1(j \omega) +a_0} V_{in}$$

Dit algemene tweede orde blok kan uitgewerkt worden in een BiQuad filter. Maar het algemene BiQuad blok vereist 4 Opamps. Daarom is het voor de meeste toepassingen handig gebruik te maken van de Sallen en Key filter, die maar 1 opamp nodig heeft.

Bovenste gedeelte van het BiQuad circuit

Het volledige BiQuad circuit

Sallen en Key laagdoorlaat circuit

Butterworth 3de orde laagdoorlaatfilter: Transfer functie

Butterworth laagdoorlaatfilter van de 3de orde

Als eerste voorbeeld ontwerpen we een analoge 3de orde laagdoorlaatfilter van het type Butterworth met afsnijfrequentie 1 MHz. De transferfunktie $H(s)$ of $H(j\omega)$ die we bekomen is:

$$ H(s) = \frac{\sum_{n=0}^M b_n s^n}{\sum_{n=0}^N a_n s^n} = \frac{\sum_{n=0}^0 b_n s^n}{\sum_{n=0}^3 a_n s^n}$$

$a_n$ en $b_n$ zijn de coeficienten van de veeltermen in de transferfunktie. Aangezien we hier een derde orde laagdoorlaatfilter ontwerpen is $M=0$ en $N=3$. Voor deze oefening is het resultaat van de berekening van deze coefficienten:

Coeficienten derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 2.4805021344239852e+20
Veelterm coefficienten noemer: N= 3
a[ 3 ] = 1.0
a[ 2 ] = 12566370.614359174
a[ 1 ] = 78956835208714.88
a[ 0 ] = 2.4805021344239852e+20

Een plot van deze transferfunctie zien we in {numref}filter_Fig8. We stellen inderdaad vast dat de versterking (Gain) heel erg vlak is tot 1 MHz en daarna met 60 dB per decade afneemt.

Amplitude en fase derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Polen derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter(1 MHz)

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 3
p[ 1 ] = (-3141592.6535897935+5441398.092702653j)
p[ 2 ] = (-6283185.307179586-0j)
p[ 3 ] = (-3141592.6535897935-5441398.092702653j)

Polen derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter(1 MHz)

Opsplitsing derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter

Detail rond de afsnijfrequentie

Opsplitsing in de bouwblokken H1 en H2

Implementatie tweede orde filter H1

Implementatie eerste orde filter H2

Coefficienten transferfunctie vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 9.792629913129003e+33
Veelterm coefficienten noemer: N= 5
a[ 5 ] = 1.0
a[ 4 ] = 20332814.76926104
a[ 3 ] = 206711678220539.9
a[ 2 ] = 1.2988077794177306e+21
a[ 1 ] = 5.043559043399954e+27
a[ 0 ] = 9.792629913129004e+33

Voor een laagdoorlaatfilter van de 5de orde is de orde van de veelterm in de teller 0 en de order van de veelterm in de noemer 5.

Amplitude en fase vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Polen vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 5
p[ 1 ] = (-1941611.0387254667+5975664.329483111j)
p[ 2 ] = (-5083203.69231526+3693163.6609809133j)
p[ 3 ] = (-6283185.307179586-0j)
p[ 4 ] = (-5083203.69231526-3693163.6609809133j)
p[ 5 ] = (-1941611.0387254667-5975664.329483111j)

Polen vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter (1 MHz)

Opsplitsing in 3 transferfunkties

Hardware implementatie in 3 building blocks

Vergelijking derde en vijfde orde Butterworth laagdoorlaatfilter

7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 7
b[ 7 ] = 6.334013983218556e+58
b[ 6 ] = 0.0
b[ 5 ] = 0.0
b[ 4 ] = 0.0
b[ 3 ] = 0.0
b[ 2 ] = 0.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 14
a[ 14 ] = 1.0
a[ 13 ] = 1129455138.528784
a[ 12 ] = 7.760089165897884e+17
a[ 11 ] = 3.654151505077993e+26
a[ 10 ] = 1.293535546920629e+35
a[ 9 ] = 3.5017090931362664e+43
a[ 8 ] = 7.334620231296047e+51
a[ 7 ] = 1.1783749530590898e+60
a[ 6 ] = 1.4477960023023706e+68
a[ 5 ] = 1.3643931993116192e+76
a[ 4 ] = 9.948728770520122e+83
a[ 3 ] = 5.547604782936569e+91
a[ 2 ] = 2.325495035605259e+99
a[ 1 ] = 6.681091689314365e+106
a[ 0 ] = 1.1676379112645588e+114

7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 7
z[ 1 ] = 0j
z[ 2 ] = 0j
z[ 3 ] = 0j
z[ 4 ] = 0j
z[ 5 ] = 0j
z[ 6 ] = 0j
z[ 7 ] = 0j
Lijst der polen: N= 14
p[ 1 ] = (-9467553.01746494-62713329.10036281j)
p[ 2 ] = (-30211474.606362037-61659756.49600357j)
p[ 3 ] = (-58777850.02496373-58866599.60061156j)
p[ 4 ] = (-125663706.14359173-62831853.07179589j)
p[ 5 ] = (-58777850.02496373+58866599.60061156j)
p[ 6 ] = (-30211474.606362037+61659756.49600357j)
p[ 7 ] = (-9467553.01746494+62713329.10036281j)
p[ 8 ] = (-46458057.493502825+307739438.435567j)
p[ 9 ] = (-126488603.88224223+258155439.82934594j)
p[ 10 ] = (-167660324.09626448+167913476.98651484j)
p[ 11 ] = (-125663706.14359173+62831853.07179589j)
p[ 12 ] = (-167660324.09626448-167913476.98651484j)
p[ 13 ] = (-126488603.88224223-258155439.82934594j)
p[ 14 ] = (-46458057.493502825-307739438.435567j)

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Vergelijking banddoorlaatfilter en opeenvolging laagdoorlaat- en hoogdoorlaatfilter

Transferfunctie 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 7
b[ 7 ] = 1.082225670413975e+53
b[ 6 ] = 0.0
b[ 5 ] = 0.0
b[ 4 ] = 0.0
b[ 3 ] = 0.0
b[ 2 ] = 0.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 14
a[ 14 ] = 1.0
a[ 13 ] = 169418270.77931747
a[ 12 ] = 7.027364430041076e+17
a[ 11 ] = 1.0074611841037228e+26
a[ 10 ] = 2.1017496540749808e+35
a[ 9 ] = 2.488471395316168e+43
a[ 8 ] = 3.4683129207221617e+52
a[ 7 ] = 3.2679992552874596e+60
a[ 6 ] = 3.4107645311434367e+69
a[ 5 ] = 2.406576000783415e+77
a[ 4 ] = 1.998855398085796e+86
a[ 3 ] = 9.422413939327687e+93
a[ 2 ] = 6.463381596708082e+102
a[ 1 ] = 1.5323607880306775e+110
a[ 0 ] = 8.894760315452719e+118

Transferfunctie 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 7
z[ 1 ] = 0j
z[ 2 ] = 0j
z[ 3 ] = 0j
z[ 4 ] = 0j
z[ 5 ] = 0j
z[ 6 ] = 0j
z[ 7 ] = 0j
Lijst der polen: N= 14
p[ 1 ] = (-3949021.641305336-295726397.242198j)
p[ 2 ] = (-11200424.836296545-298982612.7578789j)
p[ 3 ] = (-16539450.539423024-305061656.189032j)
p[ 4 ] = (-18849555.92153874-313026248.8897938j)
p[ 5 ] = (-16539450.539423024+305061656.189032j)
p[ 6 ] = (-11200424.836296545+298982612.7578789j)
p[ 7 ] = (-3949021.641305336+295726397.242198j)
p[ 8 ] = (-4439819.935339821+332480313.6424786j)
p[ 9 ] = (-12304586.93699407+328456965.2578802j)
p[ 10 ] = (-17426275.57876118+321418687.7969175j)
p[ 11 ] = (-18849555.92153874+313026248.8897938j)
p[ 12 ] = (-17426275.57876118-321418687.7969175j)
p[ 13 ] = (-12304586.93699407-328456965.2578802j)
p[ 14 ] = (-4439819.935339821-332480313.6424786j)

Polen van een 7de orde Butterworth banddoorlaatfilter

Vergelijking 7de orde banddoorlaatfilter en opeenvolging laagdoorlaat- en hoogdoorlaatfilter

40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 2.298652790795694e+24
Veelterm coefficienten noemer: N= 3
a[ 3 ] = 1.0
a[ 2 ] = 92822184.81844565
a[ 1 ] = 5.168208012246375e+16
a[ 0 ] = 2.2986527907956946e+24

40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

detail van de 6dB passband

polen derde orde 40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 3
p[ 1 ] = (-23205546.204611413+221335928.5095666j)
p[ 2 ] = (-46411092.40922282-0j)
p[ 3 ] = (-23205546.204611413-221335928.5095666j)

Polen derde orde 40 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

120 MHz 8ste orde Chebyshev laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 1.0669416336250132e+69
Veelterm coefficienten noemer: N= 8
a[ 8 ] = 1.0
a[ 7 ] = 524820305.9616953
a[ 6 ] = 1.2746966037803576e+18
a[ 5 ] = 5.1937707944741785e+26
a[ 4 ] = 5.104888759746549e+35
a[ 3 ] = 1.45769782715832e+44
a[ 2 ] = 6.590270478283454e+52
a[ 1 ] = 1.0103634193419598e+61
a[ 0 ] = 1.3431999354717115e+69

120 MHz 8ste orde Chebyshev laagdoorlaatfilter

Detail van de 2dB passband

polen 120 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 8
p[ 1 ] = (-19974783.518686887+746281824.2305412j)
p[ 2 ] = (-56883370.83720408+632667181.5530242j)
p[ 3 ] = (-85131980.59479763+422734695.6263414j)
p[ 4 ] = (-100420018.03015907+148444684.39010677j)
p[ 5 ] = (-100420018.03015907-148444684.39010677j)
p[ 6 ] = (-85131980.59479763-422734695.6263414j)
p[ 7 ] = (-56883370.83720408-632667181.5530242j)
p[ 8 ] = (-19974783.518686887-746281824.2305412j)

Polen 120 MHz Chebyshev laagdoorlaatfilter

Vergelijking Butterworth en Chebyshev laagdoorlaatfilters (8ste orde)

Transferfunctie Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Veelterm coefficienten teller: M= 0
b[ 0 ] = 1.780752121671573e+16
Veelterm coefficienten noemer: N= 2
a[ 2 ] = 1.0
a[ 1 ] = 121560720.41014235
a[ 0 ] = 2.5153792295277244e+16

Transferfunctie Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

polen van de Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Lijst der nullen: M= 0
Lijst der polen: N= 2
p[ 1 ] = (-60780360.20507117+146490750.93199244j)
p[ 2 ] = (-60780360.20507117-146490750.93199244j)

Polen van de Chebyshev 30 MHz laagdoorlaatfilter

Transferfunktie van een Bessel Thomson hoogdoorlaatfilter (1 kHz)

Veelterm coefficienten teller: M= 2
b[ 2 ] = 1.0
b[ 1 ] = 0.0
b[ 0 ] = 0.0
Veelterm coefficienten noemer: N= 2
a[ 2 ] = 1.0
a[ 1 ] = 10882.796185405305
a[ 0 ] = 39478417.60435742

Transferfunktie van een Bessel Thomson hoogdoorlaatfilter (1 kHz)

I would rather have questions that can't be answered
than answers that can't be questioned.

Richard Feynman